Question

(拓展深化)如图①所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD和△ABC外接圆的交点．

(1)求证：AB²＝AD·AE；

(2)如图②所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer

见解析

【解析】

证明 (1)如图③，连接BE.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.

∵∠ACB＝∠AEB，

∴∠ABC＝∠AEB.

∴△ABD∽△AEB.

∴AB∶AE＝AD∶AB，

即AB2＝AD·AE.

(2)如图④，连接BE、EC，

∵四边形ABCE内接于⊙O，

∴∠CED＝∠ABC，

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠CED＝∠ACB，

∵∠AEC＝180°－∠CED，

∠ACD＝180°－∠ACB，

∴∠AEC＝∠ACD，∴△ACE∽△ADC，

∴＝，∴AB2＝AD·AE.