Question

如图所示，已知AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q.

求证：AB²＝4AP·BQ.

Answer

见解析

【解析】

证明 法一 连接OP、OQ，如图所示．

∵AP、PQ、BQ为⊙O的切线，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

又AP、BQ为⊙O的切线，

AB为直径，∴AB⊥AP，AB⊥BQ.

∴AP∥BQ.

∴∠A＝∠B＝90°，

∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.

∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝90°.

∵∠1＋∠5＝90°，∴∠4＝∠5.

∴△AOP∽△BQO.

∴＝.

∵AB＝2AO＝2OB，∴AB2＝4AP·BQ.

法二 连接OC.

同上可证得∠2＋∠3＝90°.

∵PQ切⊙O于C，∴OC⊥PQ.

在Rt△PQO中，由射影定理可得OC2＝PC·CQ，

利用切线长定理，有PC＝AP，BQ＝QC.

OC2＝AP·BQ，∵AB＝2OC，∴AB2＝4AP·BQ.

法三 如图所示，过P作BQ的垂线PD，垂足为D.

∵AP、BQ、PQ切⊙O于A、B、C，

∴∠A＝∠B＝90°，

AP＝PC，CQ＝BQ.

∴四边形ABDP为矩形，

PQ＝AP＋BQ.∵AP＝BD，AB＝PD.

在Rt△PQD中，利用勾股定理得：PQ2＝PD2＋QD2，

∴(AP＋BQ)2＝AB2＋(BQ－AP)2.

∴4AP·BQ＝AB2.