Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n.已知a₁＝1，＝a_n＋1－n²－n－，n∈N^*.

(1)求a₂的值；

(2)求数列{a_n}的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n，有.

Answer

（1）a2＝4.（2）an＝n2(n≥2)，（3）见解析

【解析】(1)【解析】
∵＝an＋1－n2－n－，n∈N*.

∴当n＝1时，2a1＝2S1＝a2－－1－＝a2－2.

又a1＝1，∴a2＝4.

(2)【解析】
∵＝an＋1－n2－n－，n∈N*.

∴2Sn＝nan＋1－n3－n2－n＝nan＋1－，①

∴当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－，②

由①－②，得2Sn－2Sn－1＝nan＋1－(n－1)an－n(n＋1)．

∵2an＝2Sn－2Sn－1，

∴2an＝nan＋1－(n－1)an－n(n＋1)，∴－＝1.

∴数列是以首项为＝1，公差为1的等差数列.

∴＝1＋1×(n－1)＝n，∴an＝n2(n≥2)，

当n＝1时，上式显然成立．∴an＝n2，n∈N*.

(3)证明：由(2)知，an＝n2，n∈N*，

①当n＝1时，＝1<，∴原不等式成立.

②当n＝2时，＝1＋<，∴原不等式亦成立.

③当n≥3时，∵n2>(n－1)·(n＋1)，∴，

∴

<1＋

＝1＋

＝1＋

＝1＋＝，

∴当n≥3时，原不等式亦成立.

综上，对一切正整数n，有.