Question

设函数f(x)＝x－xlnx，数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n＋1＝f(a_n)．求证：

(1)函数f(x)在区间(0，1)是增函数；

(2)a_n＜a_n＋1＜1.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】(1)f(x)＝x－xlnx，f′(x)＝－lnx，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－lnx＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数．

(2)(用数学归纳法)①当n＝1时，0＜a1＜1，a1lna1＜0，a2＝f(a1)＝a1－a1lna1＞a1.

由函数f(x)在区间(0，1)是增函数，且f(1)＝1，得f(x)在区间(0，1)是增函数，a2＝f(a1)＝a1－a1lna1＜f(1)＝1，即a1＜a2＜1成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时，ak＜ak＋1＜1成立，

即0＜a1≤ak≤ak＋1＜1，

那么当n＝k＋1时，由f(x)在区间(0，1]上是增函数，得0＜a1≤ak≤ak＋1＜1，

得f(ak)＜f(ak＋1)＜f(1)，而an＋1＝f(an)，则ak＋1＝f(ak)，ak＋2＝f(ak＋1)，即ak＋1＜ak＋2＜1，也就是说当n＝k＋1时，an＜an＋1＜1也成立．

由①②可得对任意的正整数n，an＜an＋1＜1恒成立．