Question

已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.

(1)求常数a、b的值；

(2)设g(x)＝f且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．

Answer

（1）a＝2，b＝－5.（2）单调增区间为(k∈Z)，单调减区间为(k∈Z)

【解析】(1)∵x∈，∴2x＋∈.∴sin∈，

∴－2asin∈[－2a，a]，∴f(x)∈[b，3a＋b]．

又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.

(2)由(1)知a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin－1，

g(x)＝f＝－4sin－1＝4sin－1.

又由lgg(x)＞0，得g(x)＞1，∴4sin－1＞1，∴sin＞，

∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z.

由2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得g(x)的单调增区间为(k∈Z)．

由2kπ＋≤2x＋＜2kπ＋，得g(x)的单调减区间为(k∈Z)