Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c.

(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a、b的值；

(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．

Answer

（1）a＝2，b＝2.（2）等腰三角形或直角三角形

【解析】(1)∵c＝2，C＝，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2－ab＝4.又△ABC的面积为，∴absinC＝，即ab＝4.联立方程组

解得a＝2，b＝2.

(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA·(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0.当cosA＝0时，∵0＜A＜π，∴A＝，△ABC为直角三角形；当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．