Question

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

Answer

（1）30海里/时（2）航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．

【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝

.

故当t＝时，Smin＝10海里，此时v＝＝30海里/时．

即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

(2)设小艇与轮船在B处相遇，

则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－.

∵0＜v≤30，

∴900－≤900，即≤0，解得t≥.

又t＝时，v＝30海里/时．故v＝30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于.

此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．