Question

设函数f(x)＝－ax²，a∈R.

(1)当a＝2时，求函数f(x)的零点；

(2)当a>0时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)内有且仅有一个零点；

(3)若函数f(x)有四个不同的零点，求a的取值范围．

Answer

（1）0，x＝，x＝，x＝（2）见解析（3）(1，＋∞)

【解析】(1)【解析】
当x≥0时，由f(x)＝0，得－2x2＝0，即x(2x2＋4x－1)＝0，解得x＝0或x＝ (舍负)；

当x<0时，由f(x)＝0，得－2x2＝0，

即x(2x2＋4x＋1)＝0(x≠－2)，解得x＝.

综上所述，函数f(x)的零点为0，x＝，x＝，x＝.

(2)证明：当a>0且x>0时，由f(x)＝0，得－ax2＝0，即ax2＋2ax－1＝0.

记g(x)＝ax2＋2ax－1，则函数g(x)的图象是开口向上的抛物线．

又g(0)＝－1<0，所以函数g(x)在(0，＋∞)内有且仅有一个零点，

即函数f(x)在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点．

(3)【解析】
易知0是函数f(x)的零点．

对于x>0，由(2)知，当a>0时，函数f(x)在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点；

当a≤0时，g(x)＝ax2＋2ax－1<0恒成立，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)内无零点．

于是，要使函数f(x)有四个不同的零点，函数f(x)在区间(－∞，0)内就要有两个不同的零点．

当x<0时，由f(x)＝0，得－ax2＝0，即ax2＋2ax＋1＝0(x≠－2)．①

因为a＝0不符合题意，所以①式可化为x2＋2x＋＝0(x≠－2)，即x2＋2x＝－＝0.

作出函数h(x)＝x2＋2x(x<0)的图象便知－1<－<0，得a>1，

综上所述，a的取值范围是(1，＋∞)．