Question

已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax²＋bx(a≠0)，设函数f(x)的图象C₁与函数g(x)的图象C₂交于两点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线互相平行？若存在，求出点R的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

不存在

【解析】设点P、Q的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且0＜x2＜x1，则点M、N的横坐标均为.

∴C1在点M处的切线斜率为k1＝|x＝＝，

C2在点N处的切线斜率为k2＝ax＋b|x＝＋b，

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线互相平行，

则k1＝k2，即＋b.

∵P、Q是曲线C1、C2的交点，∴

两式相减，得lnx1－lnx2＝，

即lnx1－lnx2＝(x1－x2) ，

∴lnx1－lnx2＝，即ln

设u＝＞1，则lnu＝，u＞1(*)．

令r(u)＝lnu－，u＞1，则r′(u)＝.

∵u＞1，∴r′(u)＞0，∴r(u)在(1，＋∞)上单调递增，

故r(u)＞r(1)＝0，则lnu＞，

这与上面(*)相矛盾，所以，故假设不成立．

故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．