Question

已知函数f(x)＝x³－ax－1.

(1)若a＝3时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

(3)是否存在实数a，使f(x)在(－1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）f(x)的单调增区间为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，单调减区间为(－1，1)（2）a≤0.（3）存在实数a使f(x)在(－1，1)上单调递减，且a≥3.

【解析】(1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x－1，∴f′(x)＝3x2－3，

令f′(x)>0即3x2－3>0，解得x>1或x<－1，

∴f(x)的单调增区间为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，

同理可求f(x)的单调减区间为(－1，1)．

(2)f′(x)＝3x2－a.

∵f(x)在实数集R上单调递增，

∴f′(x)≥0恒成立，即3x2－a≥0恒成立，∴a≤(3x2)min.

∵3x2的最小值为0，∴a≤0.

(3)假设存在实数a使f(x)在(－1，1)上单调递减，

∴f′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，即a≥3x2.

又3x2∈[0，3)，∴a≥3.

∴存在实数a使f(x)在(－1，1)上单调递减，且a≥3.