Question

设函数f(x)＝(x²＋ax＋b)e^x(x∈R)．

(1)若a＝2，b＝－2，求函数f(x)的极大值；

(2)若x＝1是函数f(x)的一个极值点．

①试用a表示b；

②设a＞0，函数g(x)＝(a²＋14)e^x＋4.若ξ₁、ξ₂∈[0，4]，使得|f(ξ₁)－g(ξ₂)|＜1成立，求a的取值范围．

Answer

（1）（2）①b＝－3－2a②1－＜a＜1＋.

【解析】(1)∵f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋b)ex＝[x2＋(2＋a)x＋(a＋b)]ex，

当a＝2，b＝－2时，f(x)＝(x2＋2x－2)ex，

则f′(x)＝(x2＋4x)ex，

令f′(x)＝0得(x2＋4x)ex＝0，

∵ex≠0,∴x2＋4x＝0，解得x＝－4或x＝0，

列表如下：

x

(－∞，－4)

－4

(－4，0)

0

(0，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)



极大值



极小值



∴当x＝－4时，函数f(x)取极大值，f(x)极大值＝.

(2)①由(1)知f′(x)＝[x2＋(2＋a)x＋(a＋b)]ex.

∵x＝1是函数f(x)的一个极值点，∴f′(1)＝0，

即e[1＋(2＋a)＋(a＋b)]＝0，解得b＝－3－2a.

②由①知f′(x)＝ex[x2＋(2＋a)x＋(－3－a)]＝ex(x－1)[x＋(3＋a)]，

当a＞0时，f(x)在区间(0，1)上的单调递减，在区间(1，4)上单调递增，

∴函数f(x)在区间[0，4]上的最小值为f(1)＝－(a＋2)e.

∵f(0)＝b＝－3－2a＜0，f(4)＝(2a＋13)e4＞0，

∴函数f(x)在区间[0，4]上的值域是[f(1)，f(4)]，

即[－(a＋2)e，(2a＋13)e4]．

又g(x)＝(a2＋14)ex＋4在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[(a2＋14)e4，(a2＋14)e8]，

∴(a2＋14)e4－(2a＋13)e4＝(a2－2a＋1)e4＝(a－1)2e4≥0，

∴存在ξ1、ξ2∈[0，4]使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立只须(a2＋14)e4－(2a＋13)e4＜1(a－1)2e4＜1(a－1)2＜1－＜a＜1＋.