已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a、b∈R)在点x＝－1处取得极大值为2...

已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a、b∈R)在点x＝－1处取得极大值为2.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x1、x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤c，求实数c的最小值．

（1）f(x)＝x3－3x（2）4 【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3. 由题意，得即解得所以f(x)＝x3－3x. (2)令f′(x)＝0，即3x2－3＝0，得x＝±1. x －2 (－2，－1) －1 (－1，1) 1 (1，2) 2 f′(x) ＋－＋ f(x) －2 增极大值减极小值增 2 因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，所以当x∈[－2，2]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－2. 则对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x1、x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x)max－f(x)min|＝4，所以c≥4.所以c的最小值为4.

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考点分析：

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设函数f(x)＝(x2＋ax＋b)ex(x∈R)．

(1)若a＝2，b＝－2，求函数f(x)的极大值；

(2)若x＝1是函数f(x)的一个极值点．

①试用a表示b；

②设a＞0，函数g(x)＝(a2＋14)ex＋4.若ξ1、ξ2∈[0，4]，使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立，求a的取值范围．