Question

如图，两个工厂A、B相距2km，点O为AB的中点，要在以O为圆心，2km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼，其中MA⊥AB，NB⊥AB.据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数为1；办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比，比例系数为4，办公楼与A、B两厂的“总噪音影响度”y是A、B两厂“噪音影响度”的和，设AP为xkm.

(1)求“总噪音影响度”y关于x的函数关系式，并求出该函数的定义域；

(2)当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？

Answer

（1）y＝(≤x≤)（2）AP＝km

【解析】(1)(解法1)如图，连结OP，

设∠AOP＝α，则≤α≤.

在△AOP中，由余弦定理得x2＝12＋22－2×1×2cosα＝5－4cosα，

在△BOP中，由余弦定理得BP2＝12＋22－2×1×2cos(π－α)＝5＋4cosα，

∴BP2＝10－x2，∴y＝.

∵≤α≤，∴≤x≤，∴y＝(≤x≤)．

(解法2)建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设P(m，n)，则PA2＝(m＋1)2＋n2，PB2＝(m－1)2＋n2.

∵m2＋n2＝4，PA＝x，

∴PB2＝10－x2(后面解法过程同解法1)．

(2)(解法1)y＝＝[x2＋(10－x2)]

＝(5＋)≥(5＋2)＝，

当且仅当，即x＝∈[，]时取等号．

故当AP＝km时，“总噪音影响度”最小．

(解法2)由y＝，得

y′＝－.

∵≤x≤，∴令y′＝0，得x＝，且当x∈时，y′<0；当x∈(，]时，y′>0.∴x＝时，y＝取极小值，也即最小值．故当AP＝km时，“总噪音影响度”最小