Question

某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4m．这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB＞AD)为长方形薄板，沿AC折叠后AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．

(1)设AB＝xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；

(2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？

(3)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？

Answer

（1）y＝2，1＜x＜2.（2）当薄板长为m，宽为(2－)m时，节能效果最好．（3）当薄板长为m，宽为(2－)m时，制冷效果最好．

【解析】(1)由题意，AB＝x，BC＝2－x.

因x＞2－x，故1＜x＜2.设DP＝y，则PC＝x－y.

因△ADP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y.

由PA2＝AD2＋DP2，得

(x－y)2＝(2－x)2＋y2y＝2，1＜x＜2.

(2)记△ADP的面积为S1，则

S1＝ (2－x)＝3－≤3－2，

当且仅当x＝∈(1，2)时，S1取得最大值．

故当薄板长为m，宽为(2－)m时，节能效果最好．

(3)记多边形ACB′PD的面积为S2，则

S2＝x(2－x)＋(2－x)＝3－，1＜x＜2.

于是S2′＝－＝0x＝.

关于x的函数S2在(1，)上递增，在(，2)上递减．所以当x＝时，S2取得最大值．

故当薄板长为m，宽为(2－)m时，制冷效果最好