Question

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(km/h)是车流密度x(辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/km时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/km时，车流速度为60km/h，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出其最大值．(精确到1辆/小时)　

Answer

（1）v(x)＝（2）车流密度为100辆/km时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/h.

【解析】(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.

再由已知，得解得

故函数v(x)的表达式为v(x)＝

(2)依题意并由(1)可得f(x)＝

当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；

当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤ 2＝，

当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．

所以，当x＝100时，f(x)在区间[20，200]上取得最大值.

综上，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3333，

即当车流密度为100辆/km时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/h