Question

求下列函数f(x)的解析式．

(1) 已知f(1－x)＝2x²－x＋1，求f(x)；

(2) 已知f＝x²＋，求f(x)；

(3) 已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x－1，求f(x)；

(4) 定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)．

Answer

（1）f(x)＝2x2－3x＋2（2）f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1)．

【解析】(1) (换元法)设t＝1－x，则x＝1－t，

∴ f(t)＝2(1－t)2－(1－t)＋1＝2t2－3t＋2，

∴ f(x)＝2x2－3x＋2.

(2) (配凑法)∵ f＝x2＋＝2＋2，

∴ f(x)＝x2＋2.

(3) (待定系数法)∵ f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则

f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.

∵f(f(x))＝4x－1，∴解得或

∴f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.

(4) (消去法)当x∈(－1，1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①

以－x代替x得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，②

由①②消去f(－x)得，f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1)