Question

求下列函数的值域：

(1) y＝x－；

(2) y＝x²－2x－3，x∈(－1，4]；

(3) y＝，x∈[3，5]；

(4) y＝ (x>1)．

Answer

（1）（2）[－4，5]．（3）（4）[2－2，＋∞)．

【解析】(1) (换元法)设＝t，t≥0，则y＝ (t2＋2)－t＝2－，当t＝时，y有最小值－，故所求函数的值域为.

(2) (配方法)配方，得y＝(x－1)2－4，因为x∈(－1，4]，结合图象知，所求函数的值域为[－4，5]．

(3) (解法1)由y＝＝2－，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以ymax＝，ymin＝，故所求函数的值域是.

(解法2)由y＝，得x＝.因为x∈[3，5]，所以3≤≤5，解得≤y≤，

即所求函数的值域是.

(4) (基本不等式法)令t＝x－1，则x＝t＋1(t>0)，

所以y＝＝t＋－2(t>0)．

因为t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即x＝＋1时，等号成立，

故所求函数的值域为[2－2，＋∞)．