Question

已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝时，求f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）（2）a＞－3

【解析】(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.

设x1＞x2≥1，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·.

∵x1＞x2≥1，∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数．

∴f(x)≥f(1)＝，即f(x)的最小值为.

(2)∵f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，

即x2＋2x＋a＞0在[1，＋∞)上恒成立，

∴a＞[－(x2＋2x)]max.

∵t(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上为减函数，

∴t(x)max＝t(1)＝－3,∴a＞－3.