Question

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x².

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)的值．

Answer

（1）见解析（2）f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．（3）1

【解析】(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，

所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

所以f(x)是周期为4的周期函数．

(2)【解析】
因为x∈[2，4]，

所以－x∈[－4，－2]，4－x∈[0，2]，

所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.

又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．

(3)【解析】
因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，

又f(x)是周期为4的周期函数，

所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝0，

所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.