Question

已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式．

Answer

f(x)＝－4x2＋4x＋7

【解析】(解法1：利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，解得

∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

(解法2：利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝，即m＝；又根据题意，函数最大值ymax＝8，

∴n＝8，∴f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4.

∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.

(解法3：利用两根式)由题意知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即＝8，解得a＝－4或a＝0(舍)，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2－(－4)x－2×(－4)－1＝－4x2＋4x＋7