Question

已知函数g(x)＝ax²－2ax＋1＋b(a≠0，b<1)，在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)＝.

(1)求a、b的值及函数f(x)的解析式；

(2)若不等式f(2^x)－k·2^x≥0在x∈[－1，1]时有解，求实数k的取值范围．

Answer

（1）a＝1，b＝0，g(x)＝x2－2x＋1，f(x)＝x＋－2.（2）(－∞，1]

【解析】(1)g(x)＝ax2－2ax＋1＋b，由题意得

①得

②得 (舍)．

∴a＝1，b＝0，g(x)＝x2－2x＋1，f(x)＝x＋－2.

(2)不等式f(2x)－k·2x≥0，即2x＋－2≥k·2x，

∴k≤－2·＋1.

设t＝，则k≤t2－2t＋1，∵x∈[－1，1]，故t∈.

记h(t)＝t2－2t＋1，∵t∈，∴h(t)max＝1，

故所求k的取值范围是(－∞，1]