Question

已知函数f(x)＝x²＋mx＋n的图象过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．

(1)求f(x)与g(x)的解析式；

(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）g(x)＝－x2＋2x（2）(－∞，0]．

【解析】(1)因为函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，

所以图象关于x＝－1对称，即－＝－1，即m＝2.

又f(1)＝1＋m＋n＝3，所以n＝0，所以f(x)＝x2＋2x.

又y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称，

所以－g(x)＝(－x)2＋2(－x)，

所以g(x)＝－x2＋2x.

(2)由(1)知，F(x)＝(－x2＋2x)－λ(x2＋2x)＝－(λ＋1)x2＋(2－2λ)x.

当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x＝，

因为F(x)在(－1，1]上是增函数，

所以或

所以λ<－1或－1<λ≤0.

当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x显然成立．

综上所述，实数λ的取值范围是(－∞，0]．