Question

已知函数f(x)＝mx＋3，g(x)＝x²＋2x＋m.

(1)求证：函数f(x)－g(x)必有零点；

(2)设函数G(x)＝f(x)－g(x)－1，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer

（1）见解析（2）m≤0或m≥2

【解析】(1)证明：f(x)－g(x)＝(mx＋3)－(x2＋2x＋m)＝－x2＋(m－2)x＋(3－m)．

由Δ1＝(m－2)2＋4(3－m)＝m2－8m＋16＝(m－4)2≥0，知函数f(x)－g(x)必有零点．

(2)【解析】
|G(x)|＝|－x2＋(m－2)x＋(2－m)|＝|x2－(m－2)x＋(m－2)|，

Δ2＝(m－2)2－4(m－2)＝(m－2)(m－6)，

①当Δ2≤0，即2≤m≤6时，|G(x)|＝x2－(m－2)x＋(m－2)，

若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则≥0，即m≥2，所以2≤m≤6时，符合条件．

②当Δ2＞0，即m＜2或m＞6时，

若m＜2，则＜0，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则≤－1且G(0)≤0，所以m≤0；

若m＞6，则＞2，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则G(0)≥0，所以m＞6.

综上，m≤0或m≥2.