Question

已知函数f(x)＝lg(a^x－b^x)(a>1>b>0)．

(1)求函数y＝f(x)的定义域；

(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴；

(3)当a、b满足什么关系时，f(x)在区间上恒取正值．

Answer

（1）(0，＋∞)（2）不存在（3）a≥b＋1

【解析】(1)由ax－bx>0，得x>1，因为a>1>b>0，所以>1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

(2)设x1>x2>0，因为a>1>b>0，所以ax1>ax2，bx1－bx2，所以ax1－bx1>ax2－bx2>0，于是lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)，即f(x1)>f(x2)，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得直线AB平行于x轴，即x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴．

(3)由(2)知，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)，故只需f(1)≥0，即lg(a－b)≥0，即a－b≥1，所以当a≥b＋1时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值．