Question

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，已知a₂＝2a₁＋3，且3a₂，a₄，5a₃成等差数列．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝log₃a_n，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n.

Answer

（1）3n，n∈N（2）Sn＝

【解析】(1)设{an}公比为q，由题意得q>0，

且解得 (舍)，

所以数列{an}的通项公式为an＝3·3n－1＝3n，n∈N．

(2)由(1)可得bn＝log3an＝n，所以anbn＝n·3n.

所以Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，

所以3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1，

两式相减得，2Sn＝－3－(32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－(3＋32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－＋n·3n＋1＝，

所以数列{anbn}的前n项和Sn＝.