Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n(n，S_n)都在函数f(x)＝x²＋2x的图象上，且在点P_n(n，S_n)处的切线的斜率为k_n.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若b_n＝2k_na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n.

Answer

（1）an＝2n＋1（2）Tn＝·4n＋2－

【解析】(1)∵点Pn(n，Sn)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，

∴Sn＝n2＋2n(n∈N*)，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.

(2)由f(x)＝x2＋2x，求导得f′(x)＝2x＋2.

∵在点Pn(n，Sn)处的切线的斜率为kn，

∴kn＝2n＋2，∴bn＝2knan＝4·(2n＋1)·4n，

∴Tn＝4×3×4＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4×(2n＋1)×4n，用错位相减法可求得Tn＝·4n＋2－.