Question

设C₁、C₂、…、C_n、…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线y＝x相切，对每一个正整数n，圆C_n都与圆C_n＋1相互外切，以r_n表示C_n的半径，已知{r_n}为递增数列．

(1)证明：{r_n}为等比数列；

(2)设r₁＝1，求数列的前n项和.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】(1)证明：将直线y＝x的倾斜角记为θ，则有tanθ＝，sinθ＝.

设Cn的圆心为(λn，0)，则由题意得＝，得λn＝2rn；同理λn＋1＝2rn＋1，从而λn＋1＝λn＋rn＋rn＋1＝2rn＋1，将λn＝2rn代入，解得rn＋1＝3rn，故{rn}为公比q＝3的等比数列．

(2)【解析】
由于rn＝1，q＝3，故rn＝3n－1，从而＝n×31－n，

记Sn＝＋＋…＋，则有Sn＝1＋2×3－1＋3×3－2＋…＋n×31－n，①

＝1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n＋n×3－n，②

①－②，得＝1＋3－1＋3－2＋…＋31－n－n×3－n＝－n×3－n＝×3－n，

∴Sn＝×31－n＝.