已知数列{an}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{bn}是首项为1，公比为q...

已知数列{an}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{bn}是首项为1，公比为q(q＞1)的等比数列．

(1)若a5＝b5，q＝3，求数列{an·bn}的前n项和；

(2)若存在正整数k(k≥2)，使得ak＝bk.试比较an与bn的大小，并说明理由．．

（1）Sn＝（2）当1＜n＜k时，an＜bn；当n＞k时，an＞bn；当n＝1，k时，an＝bn. 【解析】审题引导：①等差数列与等比数列对应项的积错位相减求和；②作差比较．规范解答：【解析】 (1)依题意，a5＝b5＝b1q5－1＝1×34＝81，故d＝＝20，所以an＝1＋20(n－1)＝20n－19.(3分) 令Sn＝1×1＋21×3＋41×32＋…＋(20n－19)·3n－1，① 则3Sn＝1×3＋21×32＋…＋(20n－39)·3n－1＋(20n－19)·3n，② ①－②，得－2Sn＝1＋20×(3＋32＋…＋3n－1)－(20n－19)·3n＝1＋20×－(20n－19)·3n＝(29－20n)·3n－29，所以Sn＝.(7分) (2)因为ak＝bk，所以1＋(k－1)d＝qk－1，即d＝，故an＝1＋(n－1).又bn＝qn－1，(9分)所以bn－an＝qn－1－＝[(k－1)(qn－1－1)－(n－1)(qk－1－1)] ＝[(k－1)(qn－2＋qn－3＋…＋q＋1)－(n－1)(qk－2＋qk－3＋…＋q＋1)]．(11分) (ⅰ)当1＜n＜k时，由q＞1知 bn－an＝[(k－n)(qn－2＋qn－3＋…＋q＋1)－(n－1)(qk－2＋qk－3＋…＋qn－1)] ＜[(k－n)(n－1)qn－2－(n－1)(k－n)qn－1]＝－＜0；(13分) (ⅱ)当n＞k时，由q＞1知 bn－an＝[(k－1)(qn－2＋qn－3＋…＋qk－1)－(n－k)(qk－2＋qk－3＋…＋q＋1)] ＞[(k－1)(n－k)qk－1－(n－k)(k－1)qk－2] ＝(q－1)2qk－2(n－k) ＞0，(15分) 综上所述，当1＜n＜k时，an＜bn；当n＞k时，an＞bn；当n＝1，k时，an＝bn.(16分) (注：仅给出“1＜n＜k时，an＜bn；n＞k时，an＞bn”得2分) 错因分析：错位相减时项数容易搞错，作差比较后学生不能灵活倒用等比数列求和公式1－qn＝(1－q)(1＋q＋q2＋…＋qn－1)

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考点分析：

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已知等差数列{an}满足：an＋1>an(n∈N*)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{bn}的前三项．