Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，且a₂a_n＝S₂＋S_n对一切正整数都成立．

(1)求a₁，a₂的值；

(2)设a₁＞0，数列前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出最大值．

Answer

（1）a1＝0，a2＝0或a1＝＋1，a2＝＋2或a1＝1－，a2＝2－.（2）n＝7时，Tn取得最大值，T7＝7－lg2.

【解析】(1)取n＝1时，a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，①

取n＝2时，＝2a1＋2a2.②由②－①得，a2(a2－a1)＝a2.③

若a2＝0，由①知a1＝0；若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④

由①④解得a1＝＋1，a2＝2＋或a1＝1－，a2＝2－.

综上所述，a1＝0，a2＝0或a1＝＋1，a2＝＋2或a1＝1－，a2＝2－.

(2)当a1＞0时，a1＝＋1，a2＝＋2.

n≥2时，有(2＋)an＝S2＋Sn，(2＋)an－1＝S2＋Sn－1，

∴(1＋)an＝(2＋)an－1，即an＝an－1(n≥2)，

∴an＝a1()n－1＝(＋1)()n－1.令bn＝＝1－lg2，

故{bn}是递减的等差数列，从而b1＞b2＞…＞b7＝lg＞lg1＝0，

n≥8时，bn≤b8＝lg＜lg1＝0，故n＝7时，Tn取得最大值，T7＝7－lg2