Question

我国是一个人口大国，随着时间推移，老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压力，决定采用养老储备金制度．公民在就业的第一年交纳养老储备金，数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储备金数目a₁，a₂，…，a_n是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁(1＋r)^n－1，第二年所交纳的储备金就变为a₂(1＋r)^n－2，…，以T_n表示到第n年所累计的储备金总额．

(1)写出T_n与T_n－1(n≥2)的递推关系式；

(2)求证：T_n＝A_n＋B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列．

Answer

（1）Tn＝Tn－1(1＋r)＋an(n≥2)（2）见解析

【解析】(1)【解析】
由题意可得：Tn＝Tn－1(1＋r)＋an(n≥2)．

(2)证明：T1－a1，对n≥2反复使用上述关系式，得

Tn＝Tn－1(1＋r)＋an＝Tn－2(1＋r)2＋an－1(1＋r)＋an＝…＝a1(1＋r)n－1＋a2(1＋r)n－2＋…＋an－1(1＋r)＋an，①

在①式两端同乘1＋r，得

(1＋r)Tn＝a1(1＋r)n＋a2(1＋r)n－1＋…＋an－1(1＋r)2＋an(1＋r)，②

②－①，得rTn＝a1(1＋r)n＋d[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋(1＋r)]－an＝[(1＋r)n－1－r]＋a1(1＋r)n－an.

即Tn＝(1＋r)n－n－.

如果记An＝(1＋r)n，Bn＝－－n，则Tn＝An＋Bn.其中{An}是以(1＋r)为首项，以1＋r(r>0)为公比的等比数列；{Bn}是以－－为首项，以－为公差的等差数列