Question

已知数列a_n＝n－16，b_n＝(－1)ⁿ|n－15|，其中n∈N^*.

(1)求满足a_n＋1＝|b_n|的所有正整数n的集合；

(2)若n≠16，求数列的最大值和最小值；

(3)记数列{a_nb_n}的前n项和为S_n，求所有满足S_2m＝S_2n(m＜n)的有序整数对(m，n)．

Answer

（1）{n|n≥15，n∈N*}（2）(n＝18)，最小值-2(n＝17)（3）S16＝S14，m＝7，n＝8

【解析】(1)an＋1＝|bn|，n－15＝|n－15|.

当n≥15时，an＋1＝|bn|恒成立；

当n<15时，n－15＝－(n－15)，n＝15(舍去)．

∴n的集合为{n|n≥15，n∈N*}．

(2)＝.

(ⅰ)当n>16时，n取偶数时，＝，

当n＝18时，＝，无最小值；n取奇数时，＝－1－，

n＝17时，＝－2，无最大值．

(ⅱ)当n<16时，＝.

当n为偶数时，＝＝－1－.

n＝14时，＝－，＝－；

当n为奇数时，＝＝1＋，

n＝1时，＝1－＝，n＝15时，＝0.

综上，最大值为(n＝18)，最小值－2(n＝17)．

(3)当n≤15时，bn＝(－1)n－1(n－15)，a2k－1b2k－1＋a2kb2k＝2(16－2k)≥0，

当n>15时，bn＝(－1)n(n－15)，a2k－1b2k－1＋a2kb2k＝2(2k－16)>0，其中a15b15＋a16b16＝0，

∴S16＝S14，m＝7，n＝8.