Question

已知数列{a_n}中，a₁＝2，n∈N^*，a_n＞0，数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n＋1＝.

(1)求{S_n}的通项公式；

(2)设{b_k}是{S_n}中的按从小到大顺序组成的整数数列．

①求b₃；

②存在N(N∈N^*)，当n≤N时，使得在{S_n}中，数列{b_k}有且只有20项，求N的范围．

Answer

（1）Sn＝1＋（2）①6②N∈[761，840]

【解析】(1)an＋1＝Sn＋1－Sn，

∴(Sn＋1－Sn)(Sn＋1＋Sn－2)＝2；即(Sn＋1)2－(Sn)2－2(Sn＋1－Sn)＝2，

∴(Sn＋1－1)2－(Sn－1)2＝2，且(S1－1)2＝1，∴{(Sn－1)2}是首项为1，公差为2的等差数列，

∴Sn＝1＋.

(2)①n＝1时，S1＝1＋1＝2＝b1，n＝5时，S5＝1＋3＝4＝b2，n＝13时，S13＝1＋5＝6＝b3.

②∵2n－1是奇数，Sn＝1＋为有理数，则＝2k－1，

∴n＝2k2－2k＋1，当k＝20时，n＝761；当k＝21时，n＝841；

∴存在N∈[761，840]，当n≤N时，使得在{Sn}中，数列{bk}有且只有20项．