Question

设不等式组所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点个数为a_n(n∈N^*)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)记数列{a_n}的前n项和为S_n，且T_n＝.若对于一切的正整数n，总有T_n≤m，求实数m的取值范围．

Answer

（1）an＝3n(n∈N*)（2）m≥.

【解析】(1)由x＞0，y＞0，3n－nx＞0，得0＜x＜3.

∴x＝1，或x＝2.∴Dn内的整点在直线x＝1和x＝2上．

记直线y＝－nx＋3n为l，l与直线x＝1、x＝2的交点的纵坐标分别为y1，y2.

则y1＝－n＋3n＝2n，y2＝－2n＋3n＝n.∴an＝3n(n∈N*)．

(2)∵Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝，

∴Tn＝，∴Tn＋1－Tn＝，

∴当n≥3时，Tn＞Tn＋1，且T1＝1＜T2＝T3＝.

于是T2，T3是数列{Tn}中的最大项，故m≥.