Question

已知数列{a_n}，其前n项和为S_n.

(1)若对任意的n∈N，a_2n－1，a_2n＋1，a_2n组成公差为4的等差数列，且a₁＝1，＝2013，求n的值；

(2)若数列是公比为q(q≠－1)的等比数列，a为常数，求证：数列{a_n}为等比数列的充要条件为q＝1＋.

Answer

（1）n＝1005（2）见解析

【解析】(1)【解析】
因为a2n－1，a2n＋1，a2n组成公差为4的等差数列，

所以a2n＋1－a2n－1＝4，a2n＝a2n－1＋8(n∈N*)，

所以a1，a3，a5，…，a2n－1，a2n＋1是公差为4的等差数列，且a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋8n.

又因为a1＝1，所以S2n＝2(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋8n＝2 ＋8n＝4n2＋6n＝2n(2n＋3)，

所以＝2n＋3＝2013，所以n＝1005.

(2)证明：因为＋a＝(a＋1)qn－1，所以Sn＝(a＋1)qn－1an－aan，①

所以Sn＋1＝(a＋1)qnan＋1－aan＋1，②

②－①，得(a＋1)(1－qn)an＋1＝[a－(a＋1)qn－1]an.③

(ⅰ)充分性：因为q＝1＋，所以a≠0，q≠1，a＋1≠aq，代入③式，得

q(1－qn)an＋1＝(1－qn)an.因为q≠－1，q≠1，

所以＝，n∈N*，所以{an}为等比数列，

(ⅱ)必要性：设{an}的公比为q0，则由③得

(a＋1)(1－qn)q0＝a－(a＋1)qn－1，

整理得(a＋1)q0－a＝(a＋1) qn，

此式为关于n的恒等式，若q＝1，则左边＝0，右边＝－1，矛盾；

若q≠±1，当且仅当时成立，所以q＝1＋.

由(ⅰ)、(ⅱ)可知，数列{an}为等比数列的充要条件为q＝1＋.