Question

如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝AD＝2，CD＝3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA、PB的中点．求证：

(1)MN∥平面PCD；

(2)四边形MNCD是直角梯形；

(3)DN⊥平面PCB.

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】(1)因为点M、N分别是PA、PB的中点，所以MN∥AB.

因为CD∥AB，所以MN∥CD.

又CD平面PCD，MN平面PCD，所以MN∥平面PCD.

(2)因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD.

因为PD⊥底面ABCD，CD平面ABCD，

所以CD⊥PD.

因为AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD.

因为MD平面PAD，所以CD⊥MD.

又MN∥CD，MN≠CD，

所以四边形MNCD是直角梯形．

(3)因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，

从而∠PAD＝60°.

在Rt△PDA中，AD＝，PD＝，PA＝2，MD＝.

在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝，CD＝3，CN＝＝，

从而DN2＋CN2＝CD2，所以DN⊥CN.

在Rt△PDB中，PD＝DB＝，N是PB的中点，则DN⊥PB.

又PB∩CN＝N，所以DN⊥平面PCB.