Question

如图，在正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，A₁A＝AC，D、E、F分别为线段AC、A₁A、C₁B的中点．

(1)证明：EF∥平面ABC；

(2)证明：C₁E⊥平面BDE.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】证明：(1)取BC的中点G，连结AG、FG.

因为F为C1B的中点，所以FG∥=C1C.

在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A∥=C1C，且E为A1A的中点，所以FG∥=EA.

所以四边形AEFG是平行四边形.所以EF∥AG.

因为EF平面ABC，AG平面ABC，所以EF∥平面ABC.

(2)因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BD平面ABC，所以A1A⊥BD.

因为D为AC的中点，BA＝BC，所以BD⊥AC.

因为A1A∩AC＝A，A1A平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1.

因为C1E平面A1ACC1，所以BD⊥C1E.

根据题意，可得EB＝C1E＝AB，C1B＝AB，

所以EB2＋C1E2＝C1B2.从而∠C1EB＝90°，即C1E⊥EB.

因为BD∩EB＝B，BD平面BDE,EB平面BDE，所以C1E⊥平面BDE.