Question

在正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，点D是BC的中点，BC＝BB₁.

(1)若P是CC₁上任一点，求证：AP不可能与平面BCC₁B₁垂直；

(2)试在棱CC₁上找一点M，使MB⊥AB₁.

Answer

（1）见解析（2）M为CC1的中点

【解析】(1)证明：反证法．假设AP⊥平面BCC1B1，

因为BC平面BCC1B1，所以AP⊥BC.

又正三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥BC，AP∩CC1＝P，AP平面ACC1A1，CC1平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1.

而AC平面ACC1A1，所以BC⊥AC，这与△ABC是正三角形矛盾．

故AP不可能与平面BCC1B1垂直．

(2)M为CC1的中点．

证明：∵在正三棱柱ABCA1B1C1中，BC＝BB1，∴四边形BCC1B1是正方形．

∵M为CC1的中点，D是BC的中点，∴△B1BD≌△BCM，∴∠BB1D＝∠CBM，∠BDB1＝∠CMB.

∵∠BB1D＋∠BDB1＝，∠CBM＋∠BDB1＝，∴BM⊥B1D.

∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC.

∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD平面ABC，

∴AD⊥平面BB1C1C.

∵BM平面BB1C1C，∴AD⊥BM.

∵AD∩B1D＝D，∴BM⊥平面AB1D.

∵AB1平面AB1D，∴MB⊥AB1.