Question

如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC，△ABC分别是以A、B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.现给出三个条件：①PB＝；②PB⊥BC；③平面PAB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA⊥平面ABC；

Answer

见解析

【解析】(解法1)选取条件①，在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝1，∴BC＝1，AC＝.

又∵PA＝AC，∴PA＝.∴在△PAB中，AB＝1，PA＝.

又∵PB＝，∴AB2＋PA2＝PB2.∴∠PAB＝90°，即PA⊥AB.

又∵PA⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC真包含于平面ABC，∴PA⊥平面ABC.

(解法2)选取条件②，

∵PB⊥BC，又AB⊥BC，且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面PAB.

∵PA真包含于平面PAB，∴BC⊥PA.

又∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ABC.

(解法3)选取条件③，

若平面PAB⊥平面ABC，

∵平面PAB∩平面ABC＝AB，BC真包含于平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.

∵PA真包含于平面PAB，∴BC⊥PA.∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ABC.