Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，G、H分别为DC、BC的中点．

(1)求证：平面FGH∥平面BDE；

(2)求证：平面ACF⊥平面BDE.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】学生错【解析】
证明：

(1)如图，设AC与BD交于点O，连结OE、OH.由已知EF＝AB，得EF∥AB.

∵OH∥=AB，∴EF∥=OH，∴四边形OEFH为平行四边形，∴FH∥EO.

∵G、H分别为DC、BC的中点，∴GH∥DB.∴平面FGH∥平面BDE.

(2)由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC，

而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∵FH平面BFC，∴EF⊥FH.

∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC，∴FH⊥平面ABCD.

∴FH⊥AC.又FH∥EO，∴AC⊥EO.又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDE.

又AC平面ACF，∴平面ACF⊥平面BDE.

审题引导：(1)探索求解过程的关键是弄清线线平行线面平行面面平行；线线垂直线面垂直面面垂直；不要跳步造成错误，如本例(1)，易出现由线线平行直接推得面面平行，从而导致证明过程错误．(2)正确理解运用线线、线面、面面的平行、垂直关系的判定定理和性质定理，特别注意将条件写完整，不可遗漏，如本例(2)在证明线、面垂直时，没有指出线线相交，就直接写出线面垂直，造成导致证明过程不严谨．

规范解答：证明：(1)设AC与BD交于点O，连结OE、OH，由已知EF＝AB，得EF∥AB.(2分)

∵OH∥=AB，∴EF∥=OH，∴四边形OEFH为平行四边形，∴FH∥EO.(4分)

∵FH平面BDE，EO平面BDE，∴FH∥平面BDE.

∵G、H分别为DC、BC的中点，∴GH∥DB.

∵GH平面BDE，DB平面BDE，∴GH∥平面BDE.又∵FH∩GH＝H，

∴平面FGH∥平面BDE.(6分)

(2)由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC，(8分)

而EF⊥FB，BC∩FB＝B，∴EF⊥平面BFC.FH平面BFC，∴EF⊥FH.(10分)

∴AB⊥FH，又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC，AB∩BC＝B，∴FH⊥平面ABCD.

∴FH⊥AC，又FH∥EO，∴AC⊥EO.(12分)又AC⊥BD，EO∩BD＝O，∴AC⊥平面BDE.

又AC平面ACF，∴平面ACF⊥平面BDE.(14分)

错因分析：证明两平面平行、垂直关系时一定要正确运用两平面平行或垂直的判定定理，并将相应的条件写全．本题(1)直接由线线平行推得面面平行，不符合面面平行的判定定理，导致证明过程不严谨．(2)在证明线、面垂直时，没有指出相交的条件；导致证题过程不正确．