Question

如图，在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的表面积．

Answer

3πa2

【解析】如题图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d，在三棱锥PABC中，

∵PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，∴AB＝AC＝BC＝a，

且点P在△ABC内的射影是△ABC的中心O′，由正弦定理，得＝2r，∴r＝a.

又根据球的截面圆性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，

∴P、O、O′三点共线，球的半径R＝.又PO′＝＝＝a，

∴OO′＝R－a＝d＝，∴＝R2－，解得R＝a.

∴S球＝4πR2＝3πa2.