Question

在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点(如图①)．将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置，连结B′C(如图②)．

图①

图②

(1)若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱锥B′-ADC的体积；

(2)记线段B′C的中点为H，平面B′ED与平面HFD的交线为l，求证：HF∥l；

(3)求证：AD⊥B′E.

Answer

（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】(1)解：在直角△ABC中，D为BC的中点，所以AD＝BD＝CD.又∠B＝60°，所以△ABD是等边三角形．取AD中点O，连结B′O，所以B′O⊥AD.因为平面AB′D⊥平面ADC，平面AB′D∩平面ADC＝AD，B′O平面AB′D，所以B′O⊥平面ADC.在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为BC的中点，所以AC＝，B′O＝.所以S△ADC＝××1×＝.所以三棱锥B′ADC的体积为V＝×S△ADC×B′O＝.

(2)证明：因为H为B′C的中点，F为CE的中点，所以HF∥B′E.又HF平面B′ED，B′E平面B′ED，所以HF∥平面B′ED.因为HF平面HFD，平面B′ED∩平面HFD＝l，所以HF∥l.

(3)证明：连结EO，由(1)知，B′O⊥AD.

因为AE＝，AO＝，∠DAC＝30°，

所以EO＝.

所以AO2＋EO2＝AE2.所以AD⊥EO.

又B′O平面B′EO，EO平面B′EO，B′O∩EO＝O，

所以AD⊥平面B′EO.

又B′E平面B′EO，所以AD⊥B′E.