Question

如图所示，在直三棱柱A₁B₁C₁－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A₁A＝4，点D是BC的中点．

(1)求异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值；

(2)求平面ADC₁与平面ABA₁所成二面角的正弦值．

Answer

（1）（2）

【解析】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)．

因为cos〈，〉＝＝，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.

(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，

因为＝(1，1，0)，＝(0，2，4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，

取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2，1)是平面ADC1的一个法向量．

取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0，1，0)，

设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.

由|cosθ|＝＝，得sinθ＝.

因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.