Question

如图所示，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点，AF⊥PB.

(1)求PA的长；

(2)求二面角B-AF-D的正弦值．

Answer

（1）2（2）

【解析】(1)如图，连结BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，

故AC⊥BD.以O为坐标原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则OC＝CDcos＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3.又OD＝CDsin＝，故A(0，－3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)．

因为PA⊥底面ABCD，可设P(0，－3，z)，由F为PC边中点，得F，又＝，＝(，3，－z)，因AF⊥PB，故·＝0，即6－＝0，z＝2(舍去－2)，所以||＝2.

(2)由(1)知＝(－，3，0)，＝(，3，0)，＝(0，2，)．设平面FAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．

由n1·＝0，n1·＝0，得因此可取n1＝(3，，－2)．

由n2·＝0，n2·＝0，得故可取n2＝(3，－，2)．

从而向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝＝.

故二面角B-AF-D的正弦值为.