Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝2，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B₁B、DA的中点．

(1)求二面角D₁-AE-C的大小；

(2)求证：直线BF∥平面AD₁E.

Answer

（1）90°（2）见解析

【解析】(1)【解析】
以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图．

则相应点的坐标分别为D1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，∴＝(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)，

＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)，

＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)．

设平面AED1、平面AEC的法向量分别为m＝(a，b，1)，n＝(c，d，1)．

由

由

∴m＝(2，－1，1)，n＝(－1，－1，1)，∴cosm，n=＝＝0，

∴二面角D1AEC的大小为90°.

(2)证明：取DD1的中点G，连结GB、GF.

∵E、F分别是棱BB1、AD的中点，

∴GF∥AD1，BE∥D1G且BE＝D1G，

∴四边形BED1G为平行四边形，∴D1E∥BG.

又D1E、D1A平面AD1E，BG、GF平面AD1E，

∴BG∥平面AD1E，GF∥平面AD1E.

∵GF、GB平面BGF，∴平面BGF∥平面AD1E.

∵BF平面AD1E，∴直线BF∥平面AD1E.

(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF∥平面AD1E，亦可)