Question

三棱柱ABC－A₁B₁C₁在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB＝2，AC＝4，A₁A＝3.D是BC的中点．

(1)求直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；

(2)求二面角B_1-A₁D-C₁的正弦值．

Answer

（1）（2）

【解析】(1)由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3).＝(1，2，－3)，＝(0，4，0).

设平面A1C1D的一个法向量为n＝(x，y，z)．

∵n·＝x＋2y－3z＝0，n·＝4y＝0.

∴x＝3z，y＝0.令z＝1，得x＝3.n＝(3，0，1)．

设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ，

∵＝(1，－2，3)，

∴sinθ＝|cos〈·n〉|＝＝.

(2)设平面A1B1D的一个法向量为m＝(a，b，c)．

＝(2，0，0)，∵m·＝a＋2b－3c＝0，m·＝2a＝0，

∴a＝0，2b＝3c.令c＝2，得b＝3.m＝(0，3，2)．

设二面角B1A1DC1的大小为α，

∴|cosα|＝cos|〈m，n〉|＝，则sinα＝＝.

∴二面角B1A1DC1的正弦值为.