Question

已知函数f(x)＝在区间[－1，1]上是增函数．

(1)求实数a的值组成的集合A；

(2)设x₁、x₂是关于x的方程f(x)＝的两个相异实根，若对任意a∈A及t∈[－1，1]，不等式m²＋tm＋1≥|x₁－x₂|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）A＝{a|－1≤a≤1}（2）(－∞，－2]∪[2，＋∞)

【解析】(1)f′(x)＝，

因为f(x)在[－1，1]上是增函数，所以当x∈[－1，1]时，

f′(x)≥0恒成立，

令φ(x)＝x2－ax－2，即x2－ax－2≤0恒成立．解得－1≤a≤1.

所以A＝{a|－1≤a≤1}．

(2)由f(x)＝得x2－ax－2＝0.

设x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，所以x1＋x2＝a，x1x2＝－2.从而|x1－x2|＝，因为a∈[－1，1]，所以≤3，即|x1－x2|max＝3，

不等式对任意a∈A及t∈[－1，1]不等式恒成立，

即m2＋tm－2≥0恒成立．

设g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋m2－2，则

解得m≥2或m≤－2.故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)