Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上．若·＝，则·＝________．

Answer

【解析】(解法1)由·＝，

得||·||·cos∠FAB＝.

由矩形的性质，得||·cos∠FAB＝DF.

∵AB＝，∴·DF＝，∴DF＝1.

∴CF＝－1.

记和之间的夹角为θ，∠AEB＝α，∠FBC＝β，则θ＝α＋β.

又∵BC＝2，点E为BC的中点，∴BE＝1.

∴·＝||·||·cosθ

＝||·||·cos(α＋β)

＝||·||·(cosαcosβ－sinαsinβ)

＝||cosα·||·cosβ－||sinα·||sinβ

＝BE·BC－AB·CF＝1×2－(－1)＝.

(解法2)以A为坐标原点、AB为x轴建立直角坐标系，则B(，0)，D(0，2)，C(，2)，E(，1)，可设F(x，2)．

由·＝，计算可得x＝1，·＝(，1)·(1－，2)＝.