Question

如图，在直三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A₁A＝，M是CC₁的中点．

(1)求证：A₁B⊥AM；

(2)求二面角B ­AM­C的平面角的大小．.

Answer

（1）见解析（2）45°

【解析】(1)以点C为原点，CB、CA、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系C－xyz，如图所示，

则B(1,0,0)，A(0，，0)，A1(0，，)，M.

所以＝(1，－，－)，＝.

因为·＝1×0＋(－)×(－)＋(－)×＝0，所以A1B⊥AM.

(2)因为ABC ­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以CC1⊥BC.

因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又AC∩CC1＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，即BC⊥平面AMC.

所以是平面AMC的一个法向量，＝(1,0,0)．

设n＝(x，y，z)是平面BAM的一个法向量，＝(－1，，0)，＝.

由得，令z＝2，得x＝，y＝.

所以n＝(，，2)

因为||＝1，|n|＝2，所以cos〈，n〉＝＝，

因此二面角B ­AM­C的大小为45°