Question

如图，在长方体ABCD ­A₁B₁C₁D₁中，已知AB＝4，AD＝3，AA₁＝2，E，F分别是棱AB，BC上的点，且EB＝FB＝1.

(1)求异面直线EC₁与FD₁所成角的余弦值；

(2)试在面A₁B₁C₁D₁上确定一点G，使DG⊥平面D₁EF.

Answer

（1）（2）当点G在面A1B1C1D1上，且到A1D1，C1D1距离均为时，DG⊥D1EF.

【解析】(1)以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，

则有D(0，0,0)，D1(0,0,2)，C1(0,4,2)，E(3,3,0)，F(2，4,0)，

于是＝(－3,1,2)，＝(－2，－4,2)．

设EC1与FD1所成角为α，则cos α＝＝

∴异面直线EC1与FD1所成角的余弦值为.

(2)因点G在平面A1B1C1D1上，故可设G(x，y,2)．

＝(x，y,2)，＝(－2，－4，2)，＝(－1,1,0)．由

得解得

故当点G在面A1B1C1D1上，且到A1D1，C1D1距离均为时，DG⊥D1EF