Question

如图，已知椭圆C：＋y²＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成的两个顶点．

(1)设P是椭圆C上任意一点，若＝m＋n，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；

(2)若M、N是椭圆C上两上动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．

Answer

（1）见解析（2）1

【解析】(1)易求A(2,1)，B(－2,1)．(2分)

设P(x0，y0)，则＋＝1.由＝m＋n，，得

所以＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝.故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝上．(8分)

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝－.

平方得＝16＝(4－)(4－)，即＋＝4.(10分)

因为直线MN的方程为(x2－x1)x－(y2－y1)y＋x1y2－x2y1＝0，

所以O到直线MN的距离为

d＝，(12分)

所以△OMN的面积S＝MN·d＝|x1y2－x2y1|＝

＝＝＝1.

故△OMN的面积为定值1.(16分)